7. Тракторист должен был за определённое время вспахать поле площадью 180 га. Однако ежедневно он вспахивал на 2 га больше, чем планировал, и закончил работу на день раньше срока. За сколько дней тракторист вспахал поле?

Решение:

Пусть \( x \) — запланированное количество дней, а \( y \) — запланированная дневная норма вспашки (в га/день).

Из условия задачи мы имеем:

1. Общая площадь поля: \( x · y = 180 \)
2. Фактическое время работы: \( x - 1 \) дней
3. Фактическая дневная норма: \( y + 2 \) га/день
4. Площадь, вспаханная фактически: \( (x-1)(y+2) = 180 \)

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} xy = 180 \\ (x-1)(y+2) = 180 \end{cases} \]

Раскроем скобки во втором уравнении:

\[ xy + 2x - y - 2 = 180 \]

Подставим \( xy = 180 \) в это уравнение:

\[ 180 + 2x - y - 2 = 180 \]\[ 2x - y - 2 = 0 \]

Выразим \( y \) через \( x \): \( y = 2x - 2 \).

Подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение \( xy = 180 \):

\[ x(2x - 2) = 180 \]\[ 2x^2 - 2x = 180 \]\[ 2x^2 - 2x - 180 = 0 \]

Разделим всё на 2:

\[ x^2 - x - 90 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-90) = 1 + 360 = 361 \). \( \sqrt{D} = 19 \).

Найдем \( x \):

\[ x_1 = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]\[ x_2 = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]

Так как количество дней не может быть отрицательным, \( x = 10 \) дней.

Теперь найдём фактическое количество дней работы:

\[ x - 1 = 10 - 1 = 9 \]

Ответ: 9 дней