7. Угол при основании равнобокой трапеции равен 60°. Прямая, которая проходит через вершину тупого угла и параллельна боковой стороне, делит большее основание на отрезки 5 см и 4 см. Найдите периметр трапеции. Сколько решений имеет задача?

Пусть основания равнобокой трапеции равны a и b, где b — большее основание, а боковая сторона равна c.

Проведённая прямая, параллельная боковой стороне, образует треугольник, в котором один из отрезков большего основания равен боковой стороне. Поэтому возможны два случая: c = 5 см или c = 4 см.

Так как угол при основании равен 60°, горизонтальная проекция боковой стороны равна половине боковой стороны. Следовательно, разность оснований равна c.

Длина большего основания: b = 5 + 4 = 9 см.

1-й случай: c = 5 см. Тогда меньшее основание a = 9 − 5 = 4 см.

P = a + b + 2c = 4 + 9 + 2 · 5 = 23 см.

2-й случай: c = 4 см. Тогда меньшее основание a = 9 − 4 = 5 см.

P = 5 + 9 + 2 · 4 = 22 см.

Ответ: периметр может быть равен 23 см или 22 см; задача имеет 2 решения.