9. Диагонали четырехугольника ABCD имеют общую середину. На продолжении стороны AD за вершину D отметили точку M, DC = MC. Докажите, что четырехугольник ABCM — равнобокая трапеция.

Пусть точка O — общая середина диагоналей AC и BD. Тогда диагонали четырехугольника ABCD делятся точкой пересечения пополам, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Значит, AB ∥ CD. Так как точки A, D, M лежат на одной прямой, отрезок DM коллинеарен стороне AD.

Рассмотрим треугольник DCM. По условию DC = MC, поэтому он равнобедренный, а его углы при основании равны:

∠CDM = ∠DMC.

Поскольку AB ∥ CD, а AM является продолжением AD, то соответствующие углы равны:

∠BAM = ∠CDM.

Следовательно, ∠BAM = ∠DMC. Но луч MD совпадает с лучом MA, поэтому ∠DMC = ∠AMC. Значит, ∠BAM = ∠AMC, откуда BC = AM как боковые стороны трапеции.

Кроме того, AB ∥ CM: действительно, в равнобедренном треугольнике DCM углы при основании равны, а с учётом AB ∥ CD получаем параллельность AB и CM.

Итак, ABCM — трапеция с равными боковыми сторонами AM и BC.

Ответ: ABCM — равнобокая трапеция.