8. В трапеции ABCD AC ⟂ CD, BD ⟂ AB, ∠ACB = ∠CBD. Докажите, что трапеция ABCD равнобокая.

Так как в трапеции основания параллельны, пусть AB ∥ CD.

Из условий AC ⟂ CD и AB ∥ CD следует, что AC ⟂ AB. Аналогично из BD ⟂ AB получаем BD ⟂ CD.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ACB и CBD. У них:

1. ∠ACB = ∠CBD по условию;
2. ∠CAB = ∠BCD = 90°;
3. сторона CB является общей.

Следовательно, треугольники ACB и CBD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следует AB = CD. Значит, трапеция имеет равные боковые стороны и является равнобокой.

Ответ: трапеция ABCD равнобокая.