7. Упростите выражение ( 2/(x² - 4) + 1/(2x-x²) ): 1/(x²+4x+4)

Решение:

Сначала упростим выражение в скобках:

1. Приведём к общему знаменателю дроби \( \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x - x^2} \).
2. Разложим знаменатели на множители: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \), \( 2x - x^2 = x(2-x) = -x(x-2) \).
3. Общий знаменатель будет \( -x(x-2)(x+2) \).
4. Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{2}{x^2 - 4} = \frac{2( -x )}{-(x-2)(x+2)(-x)} = \frac{-2x}{-x(x-2)(x+2)} \] \[ \frac{1}{2x - x^2} = \frac{1}{-x(x-2)} = \frac{1(x+2)}{-x(x-2)(x+2)} = \frac{x+2}{-x(x-2)(x+2)} \]
5. Сложим дроби: \[ \frac{-2x + x+2}{-x(x-2)(x+2)} = \frac{-x+2}{-x(x-2)(x+2)} = \frac{-(x-2)}{-x(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x(x+2)} \]
6. Теперь выполним деление: \( \frac{1}{x(x+2)} : \frac{1}{x^2+4x+4} \).
7. Разложим знаменатель второй дроби: \( x^2+4x+4 = (x+2)^2 \).
8. Деление на дробь равно умножению на обратную дробь: \[ \frac{1}{x(x+2)} \cdot \frac{(x+2)^2}{1} = \frac{(x+2)^2}{x(x+2)} \]
9. Сократим \( (x+2) \): \[ \frac{x+2}{x} \]

Ответ: \( \frac{x+2}{x} \).