7. Упростите выражение [ (x + 2y) / y * (y² / (x - y))⁻¹ - (x² + xy - y²) ] y⁻³ и запишите ответ без степеней с отрицательными показателями.

Решение:

Начнем с упрощения выражения внутри скобок:

Шаг 1: Преобразуем дробь \( \frac{y^2}{x-y} \) в степень с отрицательным показателем \( -1 \):

\( \left(\frac{y^2}{x-y}\right)^{-1} = \frac{x-y}{y^2} \).

Шаг 2: Умножим первую дробь на преобразованную вторую:

\( \frac{x+2y}{y} \cdot \frac{x-y}{y^2} = \frac{(x+2y)(x-y)}{y \cdot y^2} = \frac{x^2 - xy + 2xy - 2y^2}{y^3} = \frac{x^2 + xy - 2y^2}{y^3} \).

Шаг 3: Вычтем вторую часть выражения внутри квадратных скобок:

\( \frac{x^2 + xy - 2y^2}{y^3} - (x^2 + xy - y^2) \).

Приведем к общему знаменателю \( y^3 \):

\( \frac{x^2 + xy - 2y^2}{y^3} - \frac{(x^2 + xy - y^2) y^3}{y^3} \).

Шаг 4: Умножим на \( y^{-3} \) (что эквивалентно делению на \( y^3 \)):

\( \left[ \frac{x^2 + xy - 2y^2 - (x^2 + xy - y^2) y^3}{y^3} \right] \cdot y^{-3} \).

Шаг 5: Раскроем скобки и упростим числитель (обратите внимание, что здесь возможна опечатка в условии, так как раскрытие \( y^3 \) даст очень громоздкое выражение. Предполагаем, что \( y^3 \) должно было быть \( y \) или \( y^2 \) для получения более простого ответа, или что \( -(x^2+xy-y^2) \) должно было быть перед \( y^3 \) а не после. Если строго следовать условию, решение будет громоздким. Проверим, если последнее выражение было бы \( -(x^2 + xy - y^2) \) без \( y^{-3} \) то:

\( \frac{x^2 + xy - 2y^2}{y^3} - (x^2 + xy - y^2) = \frac{x^2 + xy - 2y^2 - y^3(x^2 + xy - y^2)}{y^3} \).

Предполагая, что последнее слагаемое было \( -(x^2 + xy - y^2) \) и умножение на \( y^{-3} \) применимо к разности:

\( \frac{x^2 + xy - 2y^2 - y^3(x^2 + xy - y^2)}{y^3} \cdot y^{-3} = \frac{x^2 + xy - 2y^2 - y^3x^2 - y^4x + y^5}{y^6} \).

Если предположить, что \( y^{-3} \) применялось только к \( -(x^2 + xy - y^2) \):

\( \frac{x^2 + xy - 2y^2}{y^3} - (x^2 + xy - y^2) y^{-3} = \frac{x^2 + xy - 2y^2}{y^3} - \frac{x^2 + xy - y^2}{y^3} \).

Далее, вычитаем числители:

\( \frac{(x^2 + xy - 2y^2) - (x^2 + xy - y^2)}{y^3} = \frac{x^2 + xy - 2y^2 - x^2 - xy + y^2}{y^3} = \frac{-y^2}{y^3} = -\frac{1}{y} \).

Ответ: \(-\frac{1}{y}\).