7. В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AO = OC и BO = OD. Углы AOB и COD равны как вертикальные. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда ∠BAO = ∠DCO и ∠ABO = ∠CDO. Это равенство накрест лежащих углов показывает, что AB ∥ CD. Кроме того, равенство треугольников даёт AB = CD.

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то он является параллелограммом. Значит, ABCD — параллелограмм.