7. В новую библиотеку хотят перевезти книги. Их можно положить в 72 коробки, причём во всех коробках будет одинаковое количество книг. А можно перевезти книги, используя 108 коробок, и снова во всех коробках будет одинаковое количество книг. Сколько всего книг собираются перевезти в новую библиотеку, если их количество больше 300, но меньше 600?

Число книг должно делиться и на 72, и на 108. Найдём наименьшее общее кратное:

\(72=2^3\cdot3^2\), \(108=2^2\cdot3^3\), поэтому \(\operatorname{НОК}(72,108)=2^3\cdot3^3=216\).

Общее количество — кратное 216. Между 300 и 600 находится только одно такое число: \(216\cdot2=432\).

Ответ: 432 книги.