8. На доске написаны все четырёхзначные числа, сумма цифр каждого из которых не превышает 3. а) Сколько всего чисел написано на доске? б) Сколько из написанных чисел делится на 3, но при этом не делится на 4?

а) Пусть первая цифра — \(a\), где \(a\ge1\). После замены \(a'=a-1\) условие на сумму цифр принимает вид \(a'+b+c+d\le2\), где все переменные — неотрицательные целые числа. Число таких наборов равно \(\binom{6}{4}=15\).

б) Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Поскольку число четырёхзначное и сумма не превышает 3, сумма цифр должна равняться 3. Таких чисел \(\binom{5}{3}=10\).

Из них делятся на 4 те, у которых последние две цифры образуют число, делящееся на 4. При сумме цифр 3 возможны окончания 00 и 20: для окончания 00 подходят 3 числа, для окончания 20 — 1 число. Итого на 4 делятся 4 числа, значит, требуемых чисел \(10-4=6\).

Ответ: а) 15; б) 6.