7. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов B и D пересекают диагональ AC в точках K и P соответственно. Доказать, что четырёхугольник BPDK — параллелограмм.

Обозначим \(AB=a\), \(AD=b\). В параллелограмме \(BC=AD=b\), \(CD=AB=a\).

1. В треугольнике ABC биссектриса угла B пересекает AC в точке K. По теореме о биссектрисе:
   \[\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{BC}=\frac{a}{b}.\]
2. Поэтому
   \[\frac{AK}{AC}=\frac{a}{a+b}.\]
3. В треугольнике ADC биссектриса угла D пересекает AC в точке P. Тогда
   \[\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{DC}=\frac{b}{a},\qquad \frac{AP}{AC}=\frac{b}{a+b}.\]
4. Так как \(\frac{AK}{AC}+\frac{AP}{AC}=1\), точки K и P симметричны относительно середины диагонали AC. Следовательно, середина отрезка KP совпадает с серединой AC.
5. Середина диагонали BD также совпадает с серединой AC, поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
6. В четырёхугольнике BPDK диагонали BD и PK имеют общую середину. Значит, этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: BPDK — параллелограмм.