7. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 14. Найдите sin ∠ABC.

Обозначим гипотенузу через \(AB=c\), а катет \(BC=a\). Площадь можно выразить двумя способами: \(\frac12 AC\cdot BC=\frac12 AB\cdot CH\). Поэтому \(35a=14c\), откуда \(a=\frac25c\).

По теореме Пифагора \(c^2=a^2+35^2\). Подставим \(a=\frac25c\): \(c^2=\frac4{25}c^2+1225\), следовательно, \(\frac{21}{25}c^2=1225\) и \(c=\frac{175}{\sqrt{21}}\).

Тогда \(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{35}{175/\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}5\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{21}}5\).