7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса ВМ, причем АМВ = 110°. Найдите угол ВАМ.

Дано:

• △ABC - прямоугольный
• ∠C = 90°
• BM - биссектриса ∠ABC
• ∠AMB = 110°

Найти: ∠BAM (или ∠A)

Решение:

1. Рассмотрим △AMB. Сумма углов в нем равна 180°.
2. ∠BAM + ∠ABM + ∠AMB = 180°.
3. Мы знаем, что ∠AMB = 110°.
4. ∠BAM + ∠ABM + 110° = 180°.
5. ∠BAM + ∠ABM = 180° - 110° = 70°.
6. BM - биссектриса ∠ABC. Это значит, что она делит ∠ABC пополам: ∠ABM = ∠MBC = ∠ABC / 2.
7. В прямоугольном △ABC, ∠A + ∠B = 90°, где ∠B = ∠ABC.
8. Тогда ∠ABM = (90° - ∠A) / 2.
9. Подставляем это выражение для ∠ABM в уравнение из пункта 5: ∠BAM + (90° - ∠A) / 2 = 70°.
10. Так как ∠BAM = ∠A, заменим ∠BAM на ∠A: ∠A + (90° - ∠A) / 2 = 70°.
11. Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби: 2 * ∠A + 90° - ∠A = 140°.
12. Приведем подобные члены: ∠A + 90° = 140°.
13. Вычтем 90° из обеих частей: ∠A = 140° - 90° = 50°.

Ответ: Угол ВАМ равен 50°.