7. В равнобедренном треугольнике ABC точки K и E — середины боковых сторон AB и BC соответственно. BD — биссектриса треугольника. Докажи, что: а) треугольники AKD и CED равны; б) треугольники BKD и BED равны.

а) Так как K и E — середины боковых сторон, то \(AK=\frac{AB}{2}\), \(CE=\frac{BC}{2}\). Поскольку \(AB=BC\), получаем \(AK=CE\).

В равнобедренном треугольнике биссектриса BD является также медианой и высотой: \(AD=DC\), \(BD\perp AC\). Следовательно, \(\angle ADK=\angle CDE=90^\circ\).

Таким образом, в прямоугольных треугольниках AKD и CED равны гипотенузы \(AK=CE\) и катеты \(AD=DC\). Значит, \(\triangle AKD\cong\triangle CED\) по гипотенузе и катету.

б) Так как K и E — середины равных сторон AB и BC, то \(BK=BE\). Кроме того, \(BD\) — общая сторона треугольников BKD и BED, а \(\angle KBD=\angle DBE\), поскольку BD — биссектриса угла ABC.

Следовательно, \(\triangle BKD\cong\triangle BED\) по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: а) \(\triangle AKD\cong\triangle CED\); б) \(\triangle BKD\cong\triangle BED\).