7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектрисы АЕ и СД. Докажите, что ΔАДС = ΔСЕА.

Дано:

ΔABC — равнобедренный с основанием AC.

AE — биссектриса ∠BAC.

CD — биссектриса ∠BCA.

Доказать: ΔADC = ΔCEA.

Доказательство:

1. Так как ΔABC — равнобедренный с основанием AC, то ∠BAC = ∠BCA.

2. Поскольку AE — биссектриса ∠BAC, то ∠CAE = \(\frac{1}{2}\)∠BAC.

3. Поскольку CD — биссектриса ∠BCA, то ∠ACD = \(\frac{1}{2}\)∠BCA.

4. Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что ∠CAE = ∠ACD.

5. Рассмотрим треугольники ΔADC и ΔCEA.

• У них есть общая сторона AC.
• ∠DAC = ∠BAC (потому что AE — биссектриса, а значит, ∠DAC = ∠CAE = \(\frac{1}{2}\)∠BAC).
• ∠DCA = ∠BCA (потому что CD — биссектриса, а значит, ∠DCA = ∠ACD = \(\frac{1}{2}\)∠BCA).
• Из пункта 1 и 4 следует, что ∠BAC = ∠BCA, значит ∠DAC = ∠DCA.

Таким образом, в треугольниках ΔADC и ΔCEA:

• Сторона AC — общая.
• Углы, прилежащие к стороне AC, равны: ∠DAC = ∠ECA (так как ∠BAC = ∠BCA, и AE, CD — биссектрисы, следовательно ∠CAE = ∠ACD. В ΔADC ∠DAC = ∠BAC, в ΔCEA ∠ECA = ∠BCA. Следовательно ∠DAC = ∠ECA, так как ∠BAC = ∠BCA)
• Угол ∠ACD = ∠CAE (из пункта 4).

Треугольники ΔADC и ΔCEA равны по первому признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне):

∠DAC = ∠ECA (так как ∠BAC = ∠BCA, и AE, CD — биссектрисы, ∠CAE = ∠ACD. Следовательно, ∠DAC = ∠BAC, и ∠ECA = ∠BCA, т.к. ∠BAC = ∠BCA, то ∠DAC = ∠ECA).

∠ACD = ∠CAE (из пункта 4).

Сторона AC — общая.

Следовательно, ΔADC = ΔCEA по первому признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол).

Что и требовалось доказать.