7. В равнобедренном треугольнике MKN основание MN равно 40, а медиана KP равна 80. Точки E и F — середины сторон MK и KN соответственно. Найдите MF и NE.

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой. Поэтому \(P\) — середина \(MN\), и \(MP=PN=40:2=20\), а \(KP\perp MN\).

Введём координаты: \(P(0;0)\), \(M(-20;0)\), \(N(20;0)\), \(K(0;80)\).

Точка \(F\) — середина \(KN\), значит, \(F(10;40)\). Тогда \(MF=\sqrt{(10+20)^2+(40-0)^2}=\sqrt{900+1600}=50\).

Точка \(E\) — середина \(KM\), значит, \(E(-10;40)\). Тогда \(NE=\sqrt{(-10-20)^2+(40-0)^2}=\sqrt{900+1600}=50\).

Ответ: \(MF=50\), \(NE=50\).