7. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Задание 7. Площадь равнобедренной трапеции

Дано:

• Большее основание \( a = 9 \)
• Меньшее основание \( b = 3 \)
• Угол при основании \( \alpha = 45^\circ \)
• Трапеция равнобедренная.

Найти: площадь трапеции \( S \).

Решение:

1. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \times h \), где \( h \) — высота трапеции.
2. Чтобы найти высоту, опустим перпендикуляры из концов верхнего основания на нижнее. Эти перпендикуляры и будут высотой трапеции.
3. Они разделят нижнее основание на три отрезка. Средний отрезок будет равен меньшему основанию, то есть 3.
4. Два крайних отрезка будут равны друг другу. Их суммарная длина равна \( 9 - 3 = 6 \).
5. Длина каждого крайнего отрезка равна \( 6 / 2 = 3 \).
6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образовался при опускании высоты. У него один катет — это высота \( h \), а другой катет — это отрезок длиной 3. Угол при основании равен 45°.
7. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( \tan(45^\circ) = \frac{h}{3} \).
8. Так как \( \tan(45^\circ) = 1 \), то \( 1 = \frac{h}{3} \), откуда \( h = 3 \).
9. Теперь найдем площадь трапеции: \( S = \frac{9+3}{2} \times 3 = \frac{12}{2} \times 3 = 6 \times 3 = 18 \).

Ответ: 18