7. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции основания \( a=4 \) и \( b=8 \), угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

Чтобы найти площадь \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), нам нужно найти высоту \( h \).

Проведём высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Она разделит трапецию на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.

Длина отрезка от вершины острого угла до основания высоты равна \( x = \frac{b-a}{2} = \frac{8-4}{2} = 2 \).

В прямоугольном треугольнике угол при основании равен \( 45^{\circ} \), а противолежащий катет — это высота \( h \). Следовательно, второй катет, равный \( x \), также равен \( h \). Значит, \( h = x = 2 \).

Теперь найдём площадь:

\[ S = \frac{4+8}{2} \cdot 2 = \frac{12}{2} \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12 \]

Ответ: 12.