7. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если AB = 20.

Пусть O - центр окружности, R - ее радиус. Так как окружность проходит через A и B, то AB является хордой. Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к AB.

Пусть окружность касается CD в точке T. Тогда OT перпендикулярно CD и OT = R.

Так как сумма углов при основании AD равна 90°, то трапеция прямоугольная или равнобедренная с углом 90° при основании. Однако, основания разные, значит, трапеция прямоугольная.

Пусть углы при основании AD равны ∠D = 90° и ∠A = 90°. Тогда CD является высотой трапеции.

В этом случае CD = h. AD = 49, BC = 21, AB = 20. Так как ∠A = 90°, то AB является высотой, т.е. h = AB = 20.

Окружность проходит через A и B. Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к AB. Так как AB перпендикулярна AD и BC, то серединный перпендикуляр к AB параллелен основаниям.

Пусть центр окружности O имеет координаты (x, y). Середина AB: (x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2. Если A=(0, 20), B=(0, 0), то середина AB = (0, 10). Серединный перпендикуляр - горизонтальная линия y = 10.

Если A=(0, 20), B=(20, 20), C=(21, 0), D=(49, 0). Углы при основании AD: ∠D = 90°, ∠A = 90°. Это прямоугольная трапеция. AB = 20, BC = 21, AD = 49.

Пусть окружность проходит через A и B. Центр O лежит на серединном перпендикуляре к AB. Середина AB: (10, 20). Серединный перпендикуляр: x = 10.

Окружность касается CD (прямая y=0). Значит, расстояние от центра O(10, y) до прямой y=0 равно радиусу R. |y| = R.

Радиус окружности, проходящей через A(0, 20) и B(20, 20): R² = (10-0)² + (y-20)² = 100 + (y-20)².

R² = (10-20)² + (y-20)² = 100 + (y-20)².

R = |y|. R² = y².

y² = 100 + (y-20)² = 100 + y² - 40y + 400.

0 = 500 - 40y => 40y = 500 => y = 500/40 = 12.5.

R = |y| = 12.5.