7. В трапеции FEМК FE ∥ KM, FE = 4; ∠FEM = 150°. По отметкам на рисунке FA = AK и EB = BM; ∠KFE = ∠KEM = 90°. Найти AB.

В прямоугольном треугольнике FKE угол при E равен 60°: лучи EF и EM образуют угол 150°, а KE ⟂ EM. Поэтому ∠FKE = 30°.

Треугольник FKE — прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°. Сторона FE = 4 лежит напротив угла 30°, значит FK = 4√3.

Так как FE ∥ KM, расстояние между основаниями равно FK. Горизонтальная проекция EM на основание равна FK / tan 30° = 12. Тогда KM = FE + 12 = 16.

Точки A и B — середины боковых сторон, поэтому AB — средняя линия трапеции:

AB = (FE + KM) / 2 = (4 + 16) / 2 = 10.

Ответ: AB = 10.