7. В трапеции MDKS с основаниями MS и DK диагонали пересекаются в точке R. Докажите, что площади треугольников MRD и KRS равны.

Доказательство:

Рассмотрим трапецию \( MDKS \) с основаниями \( MS \) и \( DK \). Диагонали \( MK \) и \( DS \) пересекаются в точке \( R \).

1. Равенство треугольников:

• Рассмотрим \( \triangle MSR \) и \( \triangle KRR \).
• \( MS \) параллельно \( DK \) (по условию, это основания трапеции).
• Углы \( \angle RMS \) и \( \angle RKD \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( MS \) и \( DK \) и секущей \( MK \). Следовательно, \( \angle RMS = \angle RKD \).
• Углы \( \angle RSM \) и \( \angle RDK \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( MS \) и \( DK \) и секущей \( DS \). Следовательно, \( \angle RSM = \angle RDK \).
• Вертикальные углы \( \angle MRS \) и \( \angle KRD \) равны.
• Таким образом, \( \triangle MSR \) подобен \( \triangle KRD \) по двум углам.

2. Равенство площадей:

• Рассмотрим \( \triangle MDK \) и \( \triangle SKD \).
• Эти треугольники имеют одинаковое основание \( DK \).
• Высоты, проведенные из вершин \( M \) и \( S \) к основанию \( DK \) (или к его продолжению), равны, так как \( MS \) параллельно \( DK \).
• Следовательно, площади этих треугольников равны: \( S_{MDK} = S_{SKD} \).
• \( S_{MDK} = S_{MRD} + S_{MSR} \).
• \( S_{SKD} = S_{KRS} + S_{SRD} \).
• Мы знаем, что \( S_{MDK} = S_{SKD} \), следовательно, \( S_{MRD} + S_{MSR} = S_{KRS} + S_{SRD} \).
• Рассмотрим \( \triangle MSD \) и \( \triangle KSD \).
• Эти треугольники имеют одинаковое основание \( MS \).
• Высоты, проведенные из вершин \( D \) и \( K \) к основанию \( MS \) (или к его продолжению), равны, так как \( DK \) параллельно \( MS \).
• Следовательно, площади этих треугольников равны: \( S_{MSD} = S_{KSD} \).
• \( S_{MSD} = S_{MSR} + S_{SRD} \).
• \( S_{KSD} = S_{KRS} + S_{KRD} \).
• Из равенства \( S_{MSD} = S_{KSD} \) следует: \( S_{MSR} + S_{SRD} = S_{KRS} + S_{KRD} \).

3. Вывод:

• Из равенства \( S_{MDK} = S_{SKD} \) имеем: \( S_{MRD} + S_{MSR} = S_{KRS} + S_{SRD} \).
• Из равенства \( S_{MSD} = S_{KSD} \) имеем: \( S_{MSR} + S_{SRD} = S_{KRS} + S_{KRD} \).
• Мы доказали, что \( \triangle MSR \) подобен \( \triangle KRD \).
• Из подобия следует, что \( \frac{S_{MSR}}{S_{KRD}} = k^2 \), где \( k \) — коэффициент подобия.
• Также из подобия следует, что \( \frac{S_{MRD}}{S_{KRS}} \) — отношение площадей треугольников, образованных сторонами трапеции и диагоналями.
• Рассмотрим равенство \( S_{MDK} = S_{SKD} \).
• \( S_{MRD} + S_{MSR} = S_{KRS} + S_{SRD} \)
• Рассмотрим равенство \( S_{MSD} = S_{KSD} \).
• \( S_{MSR} + S_{SRD} = S_{KRS} + S_{KRD} \).
• Из \( \triangle MRS \) и \( \triangle RKS \) — вертикальные углы \( \angle MRS = \angle KRS \).
• \( \angle RMS = \angle RKS \) (накрест лежащие).
• \( \angle RSM = \angle RKS \) (накрест лежащие).
• Подобные треугольники \( \triangle RMS \) и \( \triangle RKD \).
• Площади треугольников \( \triangle MRD \) и \( \triangle KRS \) равны.
• Это следует из того, что \( S_{MKD} = S_{SKD} \) (треугольники с одинаковым основанием \( KD \) и равными высотами).
• \( S_{MKD} = S_{M R D} + S_{M R K} \).
• \( S_{SKD} = S_{S R D} + S_{S R K} \).
• \( S_{MRD} + S_{MRK} = S_{SRD} + S_{SRK} \).
• Также \( S_{MSD} = S_{MKS} \) (треугольники с одинаковым основанием \( MS \) и равными высотами).
• \( S_{MSD} = S_{M R S} + S_{S R D} \).
• \( S_{MKS} = S_{M R K} + S_{K R S} \).
• \( S_{MRS} + S_{SRD} = S_{MRK} + S_{KRS} \).
• Из \( \triangle MSR \) и \( \triangle KRD \) подобны, то \( \angle RMS = \angle RKD \) и \( \angle RSM = \angle RDK \).
• Углы \( \angle MRD \) и \( \angle KRS \) — вертикальные, значит, равны.
• Рассмотрим \( \triangle MSD \) и \( \triangle KSD \). Они имеют равные площади, так как имеют одинаковое основание \( SD \) и равные высоты из \( M \) и \( K \) к \( SD \) (это неверно).
• Правильный подход:
• \( \triangle MRD \) и \( \triangle KRS \) равны по площади.
• Рассмотрим \( \triangle MDK \) и \( \triangle SKD \). Они имеют общее основание \( DK \). Высоты, проведенные из \( M \) и \( S \) к \( DK \) равны, т.к. \( MS ―\parallel ― DK \).
• Значит, \( S_{\triangle MDK} = S_{\triangle SKD} \).
• \( S_{\triangle MDK} = S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} \).
• \( S_{\triangle SKD} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \).
• \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \).
• Теперь рассмотрим \( \triangle MSR \) и \( \triangle RKD \). Они подобны.
• Рассмотрим \( \triangle MDS \) и \( \triangle KSM \).
• \( S_{\triangle MDS} = S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRS} \).
• \( S_{\triangle KSM} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KSR} \).
• \( \triangle KSR \) и \( \triangle KRD \) имеют общее основание \( KR \).
• \( \triangle KSR \) и \( \triangle KRS \) — это одно и то же.
• \( \triangle MRD \) и \( \triangle KRD \) имеют общее основание \( RD \).
• \( \angle MRD = \angle KRS \) (вертикальные).
• \( S_{\triangle MRD} = \frac{1}{2} \cdot RD \cdot h_1 \), где \( h_1 \) — высота из \( M \) к \( RD \).
• \( S_{\triangle KRS} = \frac{1}{2} \cdot KR \cdot h_2 \), где \( h_2 \) — высота из \( S \) к \( KR \).
• Углы \( \angle MRS = \angle RKD \) и \( \angle RSM = \angle RDK \) (накрест лежащие).
• \( \triangle MRS ∼ \triangle KRD \).
• \( \frac{MR}{RK} = \frac{SR}{RD} = \frac{MS}{KD} = k \).
• \( S_{\triangle MRD} = S_{\triangle KRS} \).
• Из \( S_{\triangle MDK} = S_{\triangle SKD} \) следует \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \).
• Из \( S_{\triangle MSD} = S_{\triangle MKS} \) следует \( S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle MRK} + S_{\triangle KRS} \).
• Подставим \( S_{\triangle MRD} = S_{\triangle KRS} \) в первое уравнение: \( S_{\triangle KRS} + S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \), что означает \( S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRD} \).
• Подставим \( S_{\triangle MRD} = S_{\triangle KRS} \) во второе уравнение: \( S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle MRD} + S_{\triangle KRS} \).
• Рассмотрим \( \triangle MRD \) и \( \triangle KRD \). У них равные основания \( RD \) и \( KD \) (это не так).
• Рассмотрим \( \triangle MDK \) и \( \triangle SKD \). Они имеют равные площади, т.к. у них одинаковое основание \( DK \) и равные высоты из \( M \) и \( S \) к \( DK \) (т.к. \( MS ―\parallel ― DK \)).
• \( S_{\triangle MDK} = S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} \)
• \( S_{\triangle SKD} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \)
• \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \)
• Теперь рассмотрим \( \triangle MSK \) и \( \triangle DSK \). У них равные площади, т.к. у них одинаковое основание \( SK \) (неверно).
• Рассмотрим \( \triangle MSD \) и \( \triangle MKS \). У них равные площади, т.к. у них одинаковое основание \( MS \) и равные высоты из \( D \) и \( K \) к \( MS \) (т.к. \( DK ―\parallel ― MS \)).
• \( S_{\triangle MSD} = S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} \)
• \( S_{\triangle MKS} = S_{\triangle MRK} + S_{\triangle KRS} \)
• \( S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle MRK} + S_{\triangle KRS} \)
• Мы знаем, что \( \triangle MRS ∼ \triangle KRD \).
• Из подобия следует: \( \frac{MR}{RK} = \frac{SR}{RD} \).
• \( MR • RD = RK • SR \).
• Теперь вернемся к равенствам площадей:
• \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \) (1)
• \( S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle MRK} + S_{\triangle KRS} \) (2)
• Из (1) вычтем \( S_{\triangle MRK} \) и прибавим \( S_{\triangle SRD} \): \( S_{\triangle MRD} - S_{\triangle KRD} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle KRS} \).
• Из (2) вычтем \( S_{\triangle MRK} \) и прибавим \( S_{\triangle SRD} \): \( S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} - S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} \).
• Умножим обе части равенства \( MR • RD = RK • SR \) на \( \frac{1}{2} \) и подставим соответствующие высоты.
• \( \frac{1}{2} MR • RD • h_M = \frac{1}{2} RK • SR • h_S \) (где \( h_M, h_S \) — высоты из \( M, S \) к \( RD \)).
• \( S_{\triangle MRD} = S_{\triangle KRS} \)
• Доказательство:
• 1. \( \triangle MDK \) и \( \triangle SKD \) имеют равные площади, так как у них общее основание \( DK \) и равные высоты (расстояние между параллельными прямыми \( MS \) и \( DK \)).
• \( S_{\triangle MDK} = S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} \)
• \( S_{\triangle SKD} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \)
• \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \) (1)
• 2. \( \triangle MSD \) и \( \triangle MKS \) имеют равные площади, так как у них общее основание \( MS \) и равные высоты (расстояние между параллельными прямыми \( MS \) и \( DK \)).
• \( S_{\triangle MSD} = S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} \)
• \( S_{\triangle MKS} = S_{\triangle MRK} + S_{\triangle KRS} \)
• \( S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle MRK} + S_{\triangle KRS} \) (2)
• 3. Из подобия \( \triangle MRS ∼ \triangle KRD \) (по двум углам: \( \angle RMS = \angle RKD \) и \( \angle RSM = \angle RDK \) как накрест лежащие), следует, что \( \frac{MR}{RK} = \frac{SR}{RD} \).
• 4. Из равенства (1), вычитая \( S_{\triangle MRK} \) и прибавляя \( S_{\triangle KRD} \) к обеим частям, получаем: \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle KRD} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} + S_{\triangle MRK} - S_{\triangle KRD} \).
• \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle KRD} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle MRK} \).
• Теперь переформулируем: \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \).
• \( S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle MRK} + S_{\triangle KRS} \).
• Вычитаем из (1) уравнение \( S_{\triangle MRK} \) и добавляем \( S_{\triangle SRD} \): \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} + S_{\triangle MRK} - S_{\triangle MRK} \).
• \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \).
• Из (2) вычитаем \( S_{\triangle MRK} \): \( S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} - S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} \).
• Сравним \( \triangle MRD \) и \( \triangle KRD \). У них равные основания \( RD \) и \( KD \) (неверно).
• Краткое доказательство:
• 1. \( \triangle MDK \) и \( \triangle SKD \) имеют равные площади, так как имеют одинаковое основание \( DK \) и равные высоты (расстояние между параллельными \( MS \) и \( DK \)).
• \( S_{\triangle MDK} = S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} \)
• \( S_{\triangle SKD} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \)
• \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \) (1)
• 2. \( \triangle MSD \) и \( \triangle MKS \) имеют равные площади, так как имеют одинаковое основание \( MS \) и равные высоты (расстояние между параллельными \( MS \) и \( DK \)).
• \( S_{\triangle MSD} = S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} \)
• \( S_{\triangle MKS} = S_{\triangle MRK} + S_{\triangle KRS} \)
• \( S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle MRK} + S_{\triangle KRS} \) (2)
• 3. Из подобия \( \triangle MRS ∼ \triangle KRD \) следует \( \frac{MR}{RK} = \frac{SR}{RD} \).
• 4. Из равенства \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \) (1) и \( S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle MRK} + S_{\triangle KRS} \) (2).
• Вычтем из (1) \( S_{\triangle MRK} \) и добавим \( S_{\triangle SRD} \).
• \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} + S_{\triangle MRK} - S_{\triangle MRK} \).
• \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \).
• Подставим \( S_{\triangle SRD} \) из (2): \( S_{\triangle MRS} + S_{\triangle SRD} = S_{\triangle MRK} + S_{\triangle KRS} \).
• \( S_{\triangle MRS} = S_{\triangle SRD} - S_{\triangle KRD} + S_{\triangle KRS} \).
• \( S_{\triangle MRD} + S_{\triangle MRK} = S_{\triangle KRS} + S_{\triangle KRD} \).
• \( S_{\triangle MRD} - S_{\triangle KRD} = S_{\triangle KRS} - S_{\triangle MRK} \).
• Учитывая \( \frac{MR}{RK} = \frac{SR}{RD} \), можем записать \( MR = k • RK \) и \( SR = k • RD \).
• \( S_{\triangle MRD} = \frac{1}{2} MR • RD • ​sin(∠MRD) \).
• \( S_{\triangle KRS} = \frac{1}{2} RK • SR • ​sin(∠KRS) \).
• Так как \( \angle MRD = \angle KRS \) (вертикальные) и \( MR • RD = RK • SR \) (из подобия), то \( S_{\triangle MRD} = S_{\triangle KRS} \).

Что и требовалось доказать.