7. В треугольнике BCE ∠C = 60°, CE : BC = 3 : 1. Отрезок CK — биссектриса треугольника. Найдите KE, если радиус описанной около треугольника окружности равен 8√3.

Дано:

\( \triangle BCE \)

\( \angle C = 60^{\circ} \)

\( CE : BC = 3 : 1 \)

CK — биссектриса.

R (радиус описанной окружности) = \( 8\sqrt{3} \).

Найти:

KE.

Решение:

1. По теореме синусов для \( \triangle BCE \): \( \frac{BE}{\sin(\angle C)} = 2R \).
2. \( \frac{BE}{\sin(60^{\circ})} = 2 \cdot 8\sqrt{3} \)
3. \( \frac{BE}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 16\sqrt{3} \)
4. \( BE = 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 \cdot \frac{3}{2} = 8 \cdot 3 = 24 \).
5. Пусть \( CE = 3k \) и \( BC = k \).
6. По теореме косинусов для \( \triangle BCE \): \( BE^2 = BC^2 + CE^2 - 2 BC \cdot CE \cos(\angle C) \).
7. \( 24^2 = k^2 + (3k)^2 - 2 \cdot k \cdot 3k \cos(60^{\circ}) \)
8. \( 576 = k^2 + 9k^2 - 6k^2 \cdot \frac{1}{2} \)
9. \( 576 = 10k^2 - 3k^2 \)
10. \( 576 = 7k^2 \)
11. \( k^2 = \frac{576}{7} \)
12. \( k = \sqrt{\frac{576}{7}} = \frac{24}{\sqrt{7}} \).
13. \( BC = \frac{24}{\sqrt{7}} \) и \( CE = \frac{72}{\sqrt{7}} \).
14. CK — биссектриса. По свойству биссектрисы: \( \frac{BK}{KE} = \frac{BC}{CE} = \frac{k}{3k} = \frac{1}{3} \).
15. Значит, \( KE = 3 BK \).
16. Также, \( BK + KE = BE = 24 \).
17. Подставляем \( KE = 3 BK \) в \( BK + KE = 24 \): \( BK + 3 BK = 24 \)
18. \( 4 BK = 24 \)
19. \( BK = 6 \).
20. Тогда \( KE = 3 \cdot 6 = 18 \).

Ответ: 18.