6. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания со вписанной окружностью в отношении 8 : 5, считая от вершины, лежащей против основания. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Обозначим равнобедренный треугольник как ABC, где AB = BC. Пусть окружность касается сторон AC, AB, BC в точках D, E, F соответственно. Точка касания D на основании AC делит его на два равных отрезка AD = DC. Точка касания E на боковой стороне AB делит ее на отрезки AE и EB. По условию, AE : EB = 8 : 5.
2. Пусть AE = 8x и EB = 5x. Тогда боковая сторона AB = AE + EB = 8x + 5x = 13x.
3. Так как треугольник равнобедренный, AB = BC = 13x.
4. Основание AC = 2 * DC.
5. Из свойств касательных, проведенных из одной точки, имеем: AE = AF = 8x, EB = BF = 5x.
6. Также, CD = CF.
7. Из равенства сторон: AB = 13x, BC = 13x.
8. BC = BF + FC = 5x + FC = 13x. Отсюда FC = 13x - 5x = 8x.
9. Так как DC = CF, то DC = 8x.
10. Основание AC = AD + DC = 8x + 8x = 16x.
11. Пусть r - радиус вписанной окружности, r = 10.
12. Площадь треугольника S можно выразить двумя способами:
• S = p * r, где p - полупериметр.
• S = sqrt(p * (p-a) * (p-b) * (p-c)), где a, b, c - стороны треугольника.
13. Полупериметр p = (AB + BC + AC) / 2 = (13x + 13x + 16x) / 2 = 42x / 2 = 21x.
14. S = 21x * 10 = 210x.
15. Высота треугольника h, опущенная на основание AC, равна h = sqrt(AB^2 - (AC/2)^2) = sqrt((13x)^2 - (16x/2)^2) = sqrt(169x^2 - (8x)^2) = sqrt(169x^2 - 64x^2) = sqrt(105x^2) = x * sqrt(105).
16. Площадь также равна S = (1/2) * AC * h = (1/2) * 16x * x * sqrt(105) = 8x^2 * sqrt(105).
17. Приравниваем два выражения для площади: 210x = 8x^2 * sqrt(105).
18. Делим обе стороны на x (так как x не может быть 0): 210 = 8x * sqrt(105).
19. x = 210 / (8 * sqrt(105)) = 105 / (4 * sqrt(105)) = sqrt(105) / 4.
20. Основание AC = 16x = 16 * (sqrt(105) / 4) = 4 * sqrt(105).

Ответ: Основание треугольника равно 4√105.