7. Вычислите: $$3\frac{5}{6} + 6\frac{11}{12} \cdot 2\frac{1}{3} : 5\frac{1}{2}$$. Запишите полностью решение и ответ.

Решение:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

\[ 3\frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{18 + 5}{6} = \frac{23}{6} \]

\[ 6\frac{11}{12} = \frac{6 \cdot 12 + 11}{12} = \frac{72 + 11}{12} = \frac{83}{12} \]

\[ 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3} \]

\[ 5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{10 + 1}{2} = \frac{11}{2} \]

2. Выполним умножение:

\[ \frac{83}{12} \cdot \frac{7}{3} = \frac{83 \cdot 7}{12 \cdot 3} = \frac{581}{36} \]

3. Выполним деление:

\[ \frac{581}{36} : \frac{11}{2} = \frac{581}{36} \cdot \frac{2}{11} = \frac{581 \cdot 2}{36 \cdot 11} = \frac{581 \cdot 2}{18 \cdot 2 \cdot 11} = \frac{581}{18 \cdot 11} = \frac{581}{198} \]

Разделим 581 на 11: \( 581 : 11 = 52 \) с остатком \( 9 \). Значит, \( 581 = 11 \cdot 52 + 9 \).

Так как 581 не делится на 11, проверим, делится ли 581 на 18. \( 5+8+1=14 \), не делится на 9, значит, и на 18 не делится.

Проверим, делится ли 581 на 198. \( 198 \cdot 2 = 396 \), \( 198 \cdot 3 = 594 \). Не делится.

Попробуем разделить 581 на 11. \( 581 / 11 = 52.81 \).

Проверим, есть ли опечатка в условии. Если бы было \( 6\frac{1}{12} \) вместо \( 6\frac{11}{12} \), то \( \frac{73}{12} \cdot \frac{7}{3} = \frac{511}{36} \).

Если бы было \( 2\frac{1}{6} \) вместо \( 2\frac{1}{3} \), то \( \frac{83}{12} \cdot \frac{13}{6} = \frac{1079}{72} \).

Если бы было \( 5\frac{1}{11} \) вместо \( 5\frac{1}{2} \), то \( \frac{581}{198} : \frac{56}{11} = \frac{581}{198} \cdot \frac{11}{56} = \frac{581 \cdot 11}{198 \cdot 56} = \frac{581}{18 \cdot 56} = \frac{581}{1008} \).

Пересчитаем \( 581 : 198 \). \( 581 = 2 \cdot 198 + 185 \). Значит, \( \frac{581}{198} = 2 \frac{185}{198} \).

4. Теперь сложим с первой дробью:

\[ \frac{23}{6} + \frac{581}{198} \]

Приведём к общему знаменателю 198. \( 198 : 6 = 33 \).

\[ \frac{23 \cdot 33}{6 \cdot 33} + \frac{581}{198} = \frac{759}{198} + \frac{581}{198} = \frac{759 + 581}{198} = \frac{1340}{198} \]

5. Сократим дробь. Оба числа делятся на 2:

\[ \frac{1340}{198} = \frac{670}{99} \]

Проверим, делится ли 670 на 99. \( 99 \cdot 6 = 594 \), \( 670 - 594 = 76 \). Не делится.

Представим в виде смешанного числа:

\[ \frac{670}{99} = 6 \frac{76}{99} \]

Ответ: $$6\frac{76}{99}$$