7. Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка на координатных осях равна 1 см. Изобразите на координатной плоскости все точки (x; y) такие, что |x| + |y| = 3, произвольное число.

Решение:

1. Площадь и периметр прямоугольника:

Из предыдущего задания мы знаем координаты вершин прямоугольника ABCD:

• A (-1; -3)
• B (-1; 1)
• C (5; 1)
• D (5; -3)

Длина стороны AD (горизонтальная): \( |5 - (-1)| = |6| = 6 \) см.

Длина стороны CD (вертикальная): \( |1 - (-3)| = |4| = 4 \) см.

Площадь прямоугольника: \( S = AD · CD = 6 \text{ см} · 4 \text{ см} = 24 \text{ см}^2 \).

Периметр прямоугольника: \( P = 2 · (AD + CD) = 2 · (6 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 · 10 \text{ см} = 20 \text{ см} \).

2. Изображение точек (x; y) таких, что |x| + |y| = 3:

Это уравнение описывает множество точек, образующих квадрат с вершинами на осях координат.

Рассмотрим случаи:

• Если \( x ≥ 0 \) и \( y ≥ 0 \) (первый квадрант): \( x + y = 3 \), или \( y = 3 - x \). Это отрезок, соединяющий точки (3; 0) и (0; 3).
• Если \( x < 0 \) и \( y ≥ 0 \) (второй квадрант): \( -x + y = 3 \), или \( y = 3 + x \). Это отрезок, соединяющий точки (0; 3) и (-3; 0).
• Если \( x < 0 \) и \( y < 0 \) (третий квадрант): \( -x - y = 3 \), или \( y = -3 - x \). Это отрезок, соединяющий точки (-3; 0) и (0; -3).
• Если \( x ≥ 0 \) и \( y < 0 \) (четвертый квадрант): \( x - y = 3 \), или \( y = x - 3 \). Это отрезок, соединяющий точки (0; -3) и (3; 0).

Объединение этих отрезков образует квадрат с вершинами в точках (3; 0), (0; 3), (-3; 0), (0; -3).

Ответ: 1) Площадь прямоугольника 24 см², периметр 20 см. 2) Графиком уравнения \( |x| + |y| = 3 \) является квадрат с вершинами в точках (3; 0), (0; 3), (-3; 0), (0; -3).