7. ★★ Высокий уровень: примени метод удвоения медианы. Ответь на вопросы. 1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26 см. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе, и объясните решение через удвоение медианы. 2) Медиана AM = 6 см, AB = 5 см, AC = 9 см. Проверьте обе оценки для удвоенной медианы. 3) В треугольнике ABC: AB = 6 см, AC = 8 см, BC = 10 см. Найдите медиану AM, не используя формулу медианы. 4) В треугольнике ABC: AB = 5 см, AC = 7 см, BC = 8 см. Вычислите медиану AM по формуле медианы.

1. При удвоении медианы к гипотенузе получается параллелограмм, диагонали которого равны гипотенузе и удвоенной медиане. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы: \(26:2=13\) см.
2. Удвоенная медиана равна \(2AM=2\cdot6=12\) см. Проверим оценки: \(|AB-AC|=|5-9|=4\) см и \(AB+AC=5+9=14\) см. Получаем \(4<12<14\), обе оценки выполняются.
3. Так как \(6^2+8^2=10^2\), треугольник прямоугольный, а BC — гипотенуза. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине: \(AM=10:2=5\) см.
4. Используем формулу медианы: \(AM=\frac{1}{2}\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}\). Подставим длины сторон: \(AM=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot5^2+2\cdot7^2-8^2}=\frac{1}{2}\sqrt{50+98-64}=\frac{1}{2}\sqrt{84}=\sqrt{21}\) см, приблизительно 4,58 см.

Ответ: 1) 13 см; 2) \(4<12<14\); 3) 5 см; 4) \(\sqrt{21}\) см.