7) За 3 ч против течения реки лодка проплыла на 5 км больше, чем за 2 ч по течению. Скорость лодки против течения составляет 0,75 ее скорости по течению. Какое расстояние прошла лодка за это время?

Решение:

Пусть \( v_п \) — скорость лодки по течению (км/ч), а \( v_т \) — скорость лодки против течения (км/ч).

Из условия:

1. \( 3 v_т = 2 v_п + 5 \) (Расстояние против течения на 5 км больше, чем по течению)
2. \( v_т = 0.75 v_п \) (Скорость против течения составляет 0,75 скорости по течению)

Подставим второе уравнение в первое:

\( 3(0.75 v_п) = 2 v_п + 5 \)

\( 2.25 v_п = 2 v_п + 5 \)

\( 2.25 v_п - 2 v_п = 5 \)

\( 0.25 v_п = 5 \)

\( v_п = \frac{5}{0.25} = \frac{500}{25} = 20 \)

Скорость лодки по течению \( v_п = 20 \) км/ч.

Скорость лодки против течения:

\( v_т = 0.75 v_п = 0.75 \cdot 20 = 15 \) км/ч.

Теперь найдём расстояние, пройденное лодкой:

Расстояние против течения: \( 3 \text{ ч} \cdot 15 \text{ км/ч} = 45 \) км.

Расстояние по течению: \( 2 \text{ ч} \cdot 20 \text{ км/ч} = 40 \) км.

Проверка: \( 45 - 40 = 5 \) км.

Ответ: лодка прошла 45 км против течения и 40 км по течению.