7. Замените знак * таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена: \( \frac{1}{9}a^2 + * + 4 \)

Решение:

Выражение \( \frac{1}{9}a^2 + * + 4 \) должно быть представлено в виде квадрата двучлена \( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \).

Сравнивая \( \frac{1}{9}a^2 + * + 4 \) с \( A^2 + 2AB + B^2 \), мы видим, что:

• \( A^2 = \frac{1}{9}a^2 \) => \( A = \sqrt{\frac{1}{9}a^2} = \frac{1}{3}a \)
• \( B^2 = 4 \) => \( B = \sqrt{4} = 2 \)

Теперь найдём средний член \( 2AB \), который должен быть равен \( * \):

\[ * = 2AB = 2 \cdot \left( \frac{1}{3}a \right) \cdot 2 = 2 \cdot \frac{2}{3}a = \frac{4}{3}a \]

Таким образом, двучлен будет \( \left( \frac{1}{3}a + 2 \right)^2 = \frac{1}{9}a^2 + \frac{4}{3}a + 4 \).

Ответ: \( \frac{4}{3}a \).