70. Докажите равенство: а) $C_{7}^{4}+2C_{6}^{3}+C_{7}^{3}=2C_{11}^{2}$; б) $C_{9}^{5}-2C_{8}^{5}+C_{9}^{4}=2C_{8}^{4}$; в) $C_{12}^{4}+2C_{12}^{5}+C_{12}^{6}=C_{14}^{6}$; г) $C_{15}^{8}+2C_{15}^{9}+C_{15}^{10}=C_{17}^{10}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 70. Докажите равенство: а) $C_{7}^{4}+2C_{6}^{3}+C_{7}^{3}=2C_{11}^{2}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем симметрию $C_n^k=C_n^{n-k}$ и формулу Паскаля $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$.

а) $C_{7}^{4}=C_{7}^{3}$ и $C_{7}^{3}+C_{6}^{3}=C_{8}^{4}$. Поэтому левая часть равна $2(C_{7}^{3}+C_{6}^{3})=2C_{8}^{4}=140$. Однако правая часть $2C_{11}^{2}=110$. Равенство неверно в показанном виде.
б) $C_{9}^{5}=C_{9}^{4}$, значит левая часть $2(C_{9}^{4}-C_{8}^{5})=2(126-56)=140$. Правая часть $2C_{8}^{4}=140$.
в) $C_{12}^{4}+C_{12}^{5}=C_{13}^{5}$, а $C_{12}^{5}+C_{12}^{6}=C_{13}^{6}$. Следовательно, левая часть равна $C_{13}^{5}+C_{13}^{6}=C_{14}^{6}$.
г) По симметрии $C_{15}^{8}=C_{15}^{7}$, $C_{15}^{9}=C_{15}^{6}$, $C_{15}^{10}=C_{15}^{5}$. Сумма равна $6435+2\cdot5005+3003=19448=C_{17}^{10}$.

Ответ: б), в), г) доказаны; в подпункте а) равенство, как напечатано, неверно (левая часть 140, правая 110).

70. Докажите равенство: а) \(C_{7}^{4}+2C_{6}^{3}+C_{7}^{3}=2C_{11}^{2}\); б) \(C_{9}^{5}-2C_{8}^{5}+C_{9}^{4}=2C_{8}^{4}\); в) \(C_{12}^{4}+2C_{12}^{5}+C_{12}^{6}=C_{14}^{6}\); г) \(C_{15}^{8}+2C_{15}^{9}+C_{15}^{10}=C_{17}^{10}\).