88. Вычислите: а) $C_{10}^{3}+C_{9}^{3}$; б) $C_{11}^{2}+C_{9}^{3}$; в) $C_{15}^{11}-C_{16}^{14}$; г) $\dfrac{C_{7}^{4}+C_{7}^{3}}{C_{7}^{4}}$; д) $\dfrac{C_{12}^{4}-C_{12}^{8}}{C_{12}^{7}}$; е) $\dfrac{C_{11}^{5}+C_{11}^{6}}{C_{12}^{7}+C_{12}^{8}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 88. Вычислите: а) $C_{10}^{3}+C_{9}^{3}$; б) $C_{11}^{2}+C_{9}^{3}$; в) $C_{15}^{11}-C_{16}^{14}$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулы симметрии $C_n^k=C_n^{n-k}$ и Паскаля $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$.

а) $C_{10}^{3}+C_{9}^{3}=120+84=204$.
б) $C_{11}^{2}+C_{9}^{3}=55+84=139$.
в) $C_{15}^{11}-C_{16}^{14}=C_{15}^{4}-C_{16}^{2}=1365-120=1245$.
г) $\dfrac{C_{7}^{4}+C_{7}^{3}}{C_{7}^{4}}=\dfrac{C_{8}^{4}}{C_{7}^{4}}=\dfrac{70}{35}=2$.
д) $\dfrac{C_{12}^{4}-C_{12}^{8}}{C_{12}^{7}}=\dfrac{495-495}{792}=0$, поскольку $C_{12}^{8}=C_{12}^{4}$.
е) $\dfrac{C_{11}^{5}+C_{11}^{6}}{C_{12}^{7}+C_{12}^{8}}=\dfrac{C_{12}^{6}}{C_{13}^{8}}=\dfrac{924}{1287}=\dfrac{4}{\! 5.571428\ldots}$. Упростим напрямую: $924/1287=4/5.571428\ldots=44/61.2857\ldots$. Значения биномиальных коэффициентов дают $924/1287=4/5.571428\ldots$, то есть $308/429$.

Ответ: а) 204; б) 139; в) 1245; г) 2; д) 0; е) $308/429$.

88. Вычислите: а) \(C_{10}^{3}+C_{9}^{3}\); б) \(C_{11}^{2}+C_{9}^{3}\); в) \(C_{15}^{11}-C_{16}^{14}\); г) \(\dfrac{C_{7}^{4}+C_{7}^{3}}{C_{7}^{4}}\); д) \(\dfrac{C_{12}^{4}-C_{12}^{8}}{C_{12}^{7}}\); е) \(\dfrac{C_{11}^{5}+C_{11}^{6}}{C_{12}^{7}+C_{12}^{8}}\).