701 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему острый угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b = 12 см, α = 42°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике:

1. Нахождение второго катета (a):
   \( \tan(\alpha) = \frac{a}{b} \)
   \( a = b \cdot \tan(\alpha) \)
   Подставим значения: \( a = 12 \text{ см} \cdot \tan(42°) \)
2. Нахождение гипотенузы (c):
   \( \cos(\alpha) = \frac{b}{c} \)
   \( c = \frac{b}{\cos(\alpha)} \)
   Подставим значения: \( c = \frac{12 \text{ см}}{\cos(42°)} \)
3. Нахождение второго острого угла (β):
   \( \alpha + \beta = 90° \)
   \( \beta = 90° - \alpha \)
   Подставим значение: \( \beta = 90° - 42° = 48° \)

Ответ: Второй катет \( a = 12 \cdot \tan(42°) \) см, гипотенуза \( c = \frac{12}{\cos(42°)} \) см, второй острый угол \( \beta = 48° \).