703 Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Выразите гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при a = 12, b = 15.

Решение:

В прямоугольном треугольнике с катетами \( a \) и \( b \):

1. Нахождение гипотенузы (c):
   По теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \)
   \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)
   Подставим значения: \( c = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} = \sqrt{9 \cdot 41} = 3\sqrt{41} \) см.
2. Нахождение тангенса одного острого угла (прилежащего к катету b, противолежащего катету a):
   \( \tan(\alpha) = \frac{a}{b} \)
   Подставим значения: \( \tan(\alpha) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \)
3. Нахождение тангенса другого острого угла (прилежащего к катету a, противолежащего катету b):
   \( \tan(\beta) = \frac{b}{a} \)
   Подставим значения: \( \tan(\beta) = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \)

Ответ: Гипотенуза \( c = 3\sqrt{41} \) см, тангенсы острых углов \( \frac{4}{5} \) и \( \frac{5}{4} \).