709. На рисунке 352 AB = BC = CD = DE, BF ⊥ AC, DK ⊥ CE. Докажите, что AF = EK.

Решение:

1. Дано: На рисунке 352 AB = BC = CD = DE, BF ⊥ AC, DK ⊥ CE.
2. Доказать: AF = EK.
3. Доказательство:
• Поскольку AB = BC, треугольник ΔABC — равнобедренный. BF — высота, проведенная к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, BF делит AC пополам: AF = FC.
• Поскольку BC = CD = DE, рассмотрим треугольники ΔBCF и ΔDCK.
• BF ⊥ AC, DK ⊥ CE.
• Углы ∠BFC и ∠DKC равны 90°.
• Рассмотрим треугольник ΔACD. Так как CD = DE, и точки A, C, D, E лежат на одной прямой (по рисунку), то AC = AB + BC = BC + BC = 2BC. CD = BC, DE = BC.
• Треугольник ΔBCD равнобедренный (BC = CD), BF — высота к AC. FC — часть AC.
• Рассмотрим треугольник ΔCDE. CD = DE, значит, он равнобедренный. DK — высота к CE.
• Рассмотрим треугольники ΔAFC и ΔEKD.
• По условию AB = BC = CD = DE.
• Из равенства AB = BC, следует, что AC = 2AB.
• Из равенства BC = CD = DE, следует, что CE = CD + DE = 2CD.
• Так как AB = BC = CD = DE, то AC = 2BC и CE = 2CD.
• Так как BC = CD, то AC = CE.
• В треугольнике ΔABC, BF — высота и медиана, значит AF = FC. AC = 2AF.
• В треугольнике ΔCDE, DK — высота и медиана, значит CK = KE. CE = 2EK.
• Так как AC = CE, то 2AF = 2EK, следовательно AF = EK.

Что и требовалось доказать.