710. Высоты BM и CK треугольника ABC пересекаются в точке H, ∠ABC = 35°, ∠ACB = 83°. Найдите ∠BHC.

Решение:

1. Дано: В треугольнике ABC BM и CK — высоты, точка их пересечения H. ∠ABC = 35°, ∠ACB = 83°.
2. Найти: ∠BHC.
3. Ход решения:
• Сначала найдем угол ∠BAC в треугольнике ABC. Сумма углов треугольника равна 180°.
• \[ \angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle ACB \]
• \[ \angle BAC = 180° - 35° - 83° \]
• \[ \angle BAC = 180° - 118° \]
• \[ \angle BAC = 62° \]
• Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBKC. CK — высота, значит ∠BKC = 90°.
• Угол ∠KBC = ∠ABC = 35°.
• \[ \angle KCB = 180° - 90° - 35° \]
• \[ \angle KCB = 55° \]
• Теперь рассмотрим треугольник ΔBHC. Мы знаем угол ∠HBC (он же ∠ABC = 35°).
• Угол ∠HCB = ∠KCB = 55°.
• \[ \angle BHC = 180° - \angle HBC - \angle HCB \]
• \[ \angle BHC = 180° - 35° - 55° \]
• \[ \angle BHC = 180° - 90° \]
• \[ \angle BHC = 90° \]
• Проверка:
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBMC. BM — высота, значит ∠BMC = 90°.
• Угол ∠MBC = ∠ABC = 35°.
• \[ \angle MCB = 180° - 90° - 35° \]
• \[ \angle MCB = 55° \]
• В треугольнике ΔBHC: ∠HBC = 35°. Угол ∠HCB = ∠MCB = 55°.
• \[ \angle BHC = 180° - (35° + 55°) = 180° - 90° = 90° \]
• Альтернативный способ:
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAKH. ∠AKH = 90°. ∠HAK = ∠BAC = 62°.
• \[ \angle AHK = 180° - 90° - 62° = 28° \]
• Углы ∠AHK и ∠BHC являются вертикальными, поэтому ∠AHK = ∠BHC.
• \[ \angle BHC = 28° \]
• Ошибка в предыдущем рассуждении. Вернемся к первому способу.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBKC. ∠BKC = 90°, ∠ABC = 35°.
• \[ \angle KCB = 180° - 90° - 35° = 55° \]
• Теперь рассмотрим треугольник ΔBHC. Угол ∠HBC = 35°. Угол ∠HCB = 55°.
• \[ \angle BHC = 180° - (35° + 55°) = 180° - 90° = 90° \]
• Еще раз проверим.
• Рассмотрим четырехугольник AMHN. ∠AMH = 90°, ∠ANH = 90°. (Здесь N - точка пересечения BM с AC, а M - точка на AC, так что BM - высота).
• Рассмотрим четырехугольник BKHC. ∠BKC = 90°, ∠BMC = 90°.
• В четырехугольнике BKHC, сумма углов равна 360°.
• \[ \angle BHC + \angle BKC + \angle KCB + \angle CBM = 360° \]
• \[ \angle BHC + 90° + \angle ACB + \angle ABC = 360° \]
• \[ \angle BHC + 90° + 83° + 35° = 360° \]
• \[ \angle BHC + 90° + 118° = 360° \]
• \[ \angle BHC + 208° = 360° \]
• \[ \angle BHC = 360° - 208° = 152° \]

Ответ: 152°