73. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a-3}{a^2-3a+9}-\frac{6a-18}{a^3+27}\right):\frac{5a-15}{4a^3+108}$; б) $\frac{ab^2-a^2b}{a+b}\cdot\frac{a+\frac{ab}{a-b}}{a-\frac{ab}{a+b}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 73. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a-3}{a^2-3a+9}-\frac{6a-18}{a^3+27}\right):\frac{5a-15}{4a^3+108}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Разложим многочлены на множители:

$a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9)$, $4a^3+108=4(a+3)(a^2-3a+9)$, $5a-15=5(a-3)$.

Тогда

\[\frac{a-3}{a^2-3a+9}-\frac{6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)}.\]

Следовательно,

\[\frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)}:\frac{5(a-3)}{4(a+3)(a^2-3a+9)}=\frac{4(a-3)}5.\]

б)

\[\frac{ab^2-a^2b}{a+b}=\frac{ab(b-a)}{a+b}.\]

\[a+\frac{ab}{a-b}=\frac{a(a-b)+ab}{a-b}=\frac{a^2}{a-b},\quad a-\frac{ab}{a+b}=\frac{a(a+b)-ab}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}.\]

Поэтому

\[\frac{ab(b-a)}{a+b}\cdot\frac{a^2}{a-b}\cdot\frac{a+b}{a^2}=-ab.\]

Ответ: а) $\frac{4(a-3)}5$; б) $-ab$.

73. Упростите выражение: а) \(\left(\frac{a-3}{a^2-3a+9}-\frac{6a-18}{a^3+27}\right):\frac{5a-15}{4a^3+108}\); б) \(\frac{ab^2-a^2b}{a+b}\cdot\frac{a+\frac{ab}{a-b}}{a-\frac{ab}{a+b}}\).