74. В ромбе ABCD точки F, P и M — середины сторон BC, CD и DA соответственно (рис. 128). Найдите сумму длин диагоналей ромба, если AB = 5 см, а периметр треугольника FPM равен 12 см.

Так как F и M — середины сторон BC и DA, отрезок FM соединяет середины противоположных сторон. В координатной записи ромба его длина равна стороне ромба: FM = AB = 5 см.

По теореме о средней линии треугольника BCD: FP = BD/2. Аналогично, в треугольнике CDA: PM = AC/2.

Из периметра треугольника FPM получаем: \(FP+PM+FM=12\), значит \(BD/2+AC/2+5=12\). Тогда \((AC+BD)/2=7\), откуда \(AC+BD=14\) см.

Ответ: 14 см.