75. В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Точки M, F, K и P — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите, что MK = FP.

Обозначим векторы диагоналей через \(\vec{AC}=\vec u\) и \(\vec{BD}=\vec v\). Поскольку M и K — середины AB и CD, вектор \(\vec{MK}=(\vec u+\vec v)/2\). Для отрезка FP, соединяющего середины BC и DA, получаем \(\vec{FP}=(\vec u-\vec v)/2\).

Так как диагонали перпендикулярны, \(\vec u\cdot\vec v=0\). Поэтому \(|\vec u+\vec v|^2=|\vec u|^2+|\vec v|^2=|\vec u-\vec v|^2\), следовательно, \(|\vec{MK}|=|\vec{FP}|\).

Доказано: MK = FP.