748. Решите уравнение: a) 4x⁴ - 17x² + 4 = 0; б) 9x⁴ + 77x² - 36 = 0; в) 2x⁴ - 9x² - 5 = 0; г) 6x⁴ - 5x² - 1 = 0.

Решение:

Эти уравнения являются биквадратными. Для их решения введем замену переменной: y = x².

а) 4x⁴ - 17x² + 4 = 0

• Замена: 4y² - 17y + 4 = 0
• Найдем дискриминант: D = (-17)² - 4 * 4 * 4 = 289 - 64 = 225
• Найдем корни квадратного уравнения:
  • y₁ = (17 + √225) / (2 * 4) = (17 + 15) / 8 = 32 / 8 = 4
  • y₂ = (17 - √225) / (2 * 4) = (17 - 15) / 8 = 2 / 8 = 1/4
• Вернемся к замене:
  • x² = 4 => x = ±2
  • x² = 1/4 => x = ±1/2

Ответ: x = ±2, x = ±1/2

б) 9x⁴ + 77x² - 36 = 0

• Замена: 9y² + 77y - 36 = 0
• Найдем дискриминант: D = 77² - 4 * 9 * (-36) = 5929 + 1296 = 7225
• Найдем корни квадратного уравнения:
  • y₁ = (-77 + √7225) / (2 * 9) = (-77 + 85) / 18 = 8 / 18 = 4/9
  • y₂ = (-77 - √7225) / (2 * 9) = (-77 - 85) / 18 = -162 / 18 = -9
• Вернемся к замене:
  • x² = 4/9 => x = ±2/3
  • x² = -9 (нет действительных корней)

Ответ: x = ±2/3

в) 2x⁴ - 9x² - 5 = 0

• Замена: 2y² - 9y - 5 = 0
• Найдем дискриминант: D = (-9)² - 4 * 2 * (-5) = 81 + 40 = 121
• Найдем корни квадратного уравнения:
  • y₁ = (9 + √121) / (2 * 2) = (9 + 11) / 4 = 20 / 4 = 5
  • y₂ = (9 - √121) / (2 * 2) = (9 - 11) / 4 = -2 / 4 = -1/2
• Вернемся к замене:
  • x² = 5 => x = ±√5
  • x² = -1/2 (нет действительных корней)

Ответ: x = ±√5

г) 6x⁴ - 5x² - 1 = 0

• Замена: 6y² - 5y - 1 = 0
• Найдем дискриминант: D = (-5)² - 4 * 6 * (-1) = 25 + 24 = 49
• Найдем корни квадратного уравнения:
  • y₁ = (5 + √49) / (2 * 6) = (5 + 7) / 12 = 12 / 12 = 1
  • y₂ = (5 - √49) / (2 * 6) = (5 - 7) / 12 = -2 / 12 = -1/6
• Вернемся к замене:
  • x² = 1 => x = ±1
  • x² = -1/6 (нет действительных корней)

Ответ: x = ±1