749. Решите уравнение, введя новую переменную: a) 2(5x - 1)² + 35x - 11 = 0; б) (x² + x - 3)² + 12x² + 12x - 9 = 0.

Решение:

а) 2(5x - 1)² + 35x - 11 = 0

• Раскроем скобки: 2(25x² - 10x + 1) + 35x - 11 = 0
• 50x² - 20x + 2 + 35x - 11 = 0
• Приведем подобные слагаемые: 50x² + 15x - 9 = 0
• Найдем дискриминант: D = 15² - 4 * 50 * (-9) = 225 + 1800 = 2025
• Найдем корни квадратного уравнения:
  • x₁ = (-15 + √2025) / (2 * 50) = (-15 + 45) / 100 = 30 / 100 = 0.3
  • x₂ = (-15 - √2025) / (2 * 50) = (-15 - 45) / 100 = -60 / 100 = -0.6

Ответ: x = 0.3, x = -0.6

б) (x² + x - 3)² + 12x² + 12x - 9 = 0

• Заметим, что 12x² + 12x можно представить как 12(x² + x).
• Перепишем уравнение: (x² + x - 3)² + 12(x² + x) - 9 = 0
• Введем новую переменную: y = x² + x. Тогда уравнение примет вид: (y - 3)² + 12y - 9 = 0
• Раскроем скобки: y² - 6y + 9 + 12y - 9 = 0
• Приведем подобные слагаемые: y² + 6y = 0
• Вынесем общий множитель: y(y + 6) = 0
• Отсюда получаем два случая:
  • y = 0
  • y = -6
• Вернемся к замене y = x² + x:
  • Случай 1: x² + x = 0 => x(x + 1) = 0 => x = 0 или x = -1
  • Случай 2: x² + x = -6 => x² + x + 6 = 0. Найдем дискриминант: D = 1² - 4 * 1 * 6 = 1 - 24 = -23. Так как D < 0, действительных корней нет.

Ответ: x = 0, x = -1