75. ABCD — прямоугольник. По данным на рисунке найдите отрезок KD. Диагонали пересекаются в O, KO перпендикулярен BD, ∠ACD = 60°, AK = 4, KD = x.

В прямоугольнике диагональ AC образует с вертикальной стороной CD угол 60°, значит с горизонтальной стороной AD она образует угол 30°. Пусть \(AD=L\), а высота прямоугольника равна \(h\). Тогда \(h/L=\tan 30^\circ=1/\sqrt3\).

Расположим точки так: \(A=(0,0)\), \(D=(L,0)\), \(B=(0,h)\), \(O=(L/2,h/2)\). Поскольку \(KO\perp BD\), наклон KO равен \(L/h\); из координаты O следует, что абсцисса K равна \((L-h^2/L)/2=L/3\), так как \(h^2/L^2=1/3\).

Значит, \(AK=L/3=4\), откуда \(L=12\). Поэтому \(KD=AD-AK=12-4=8\).

Ответ: 8.