76. Решите иррациональные неравенства: 1) √(3x + 1) > √(2 − x); 2) √(2x + 1) > √(3 − x); 3) √(20 − x) − √(10 − x) > 2; 4) √(2x + 1) − √(x − 8) > 3.

1. Область определения: −1/3 ≤ x ≤ 2. Возводим обе неотрицательные части в квадрат: 3x + 1 > 2 − x, откуда x > 1/4. Ответ с учётом области определения: 1/4 < x ≤ 2.

2. Область определения: −1/2 ≤ x ≤ 3. Возводим обе неотрицательные части в квадрат: 2x + 1 > 3 − x, откуда x > 2. Следовательно, 2 < x ≤ 3.

3. Область определения: x ≤ 10. Переносим второй корень: √(20 − x) > 2 + √(10 − x). Обе части положительны, поэтому возводим в квадрат: 20 − x > 14 − x + 4√(10 − x), откуда √(10 − x) < 3/2. Снова возводим в квадрат: 10 − x < 9/4, то есть x > 31/4. С учётом области определения: 31/4 < x ≤ 10.

4. Область определения: x ≥ 8. Переносим корень: √(2x + 1) > 3 + √(x − 8). Обе части положительны. Возводим в квадрат: x > 6√(x − 8). При x ≥ 8 обе части неотрицательны, поэтому ещё раз возводим в квадрат: x² > 36(x − 8), то есть (x − 12)(x − 24) > 0. Пересечение с x ≥ 8: 8 ≤ x < 12 или x > 24.

Ответ: 1) (1/4; 2]; 2) (2; 3]; 3) (31/4; 10]; 4) [8; 12) ∪ (24; +∞).