77. Докажите теорему о свойствах диагоналей ромба: диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. На рисунке изображён ромб ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Докажем, что BD ⟂ ____ и ∠ABO = ∠____. Так как по определению ромба все его стороны ____, то треугольник ABC — ____ (AB = ____). По свойству диагоналей параллелограмма AO = ____. Тогда отрезок BO является ____ треугольника ABC, а значит, и ____ и ____ этого треугольника. Следовательно, BD ⟂ ____ и ∠ABO = ∠____.

Так как ромб является параллелограммом, его диагонали делятся точкой пересечения пополам: \(AO=OC\), а также \(BO=OD\).

Все стороны ромба равны, поэтому \(AB=BC\), и треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Поскольку \(O\) — середина \(AC\), отрезок \(BO\) — медиана треугольника \(ABC\).

Значит, \(BO\perp AC\), а \(\angle ABO=\angle OBC\). Так как точки \(B,O,D\) лежат на одной прямой, получаем требуемые свойства диагоналей.

Ответ: заполнения по порядку — \(AC\); \(OBC\); равны; равнобедренный с основанием \(AC\); \(BC\); \(OC\); медианой; высотой; биссектрисой; \(AC\); \(OBC\).