77. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MN = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

Так как \(NH\perp MQ\), треугольник \(MNH\) прямоугольный, причём \(\angle MHN=90^\circ\).

В треугольнике \(MNH\):

\(MH=MN\cdot\sin30^\circ=3\cdot\frac12=1.5\) см.

Поскольку точка \(H\) лежит на стороне \(MQ\),

\(MQ=MH+HQ=1.5+5=6.5\) см.

В параллелограмме противоположные стороны равны:

\(NP=MQ=6.5\) см, \(PQ=MN=3\) см.

Угол при вершине \(M\) равен углу \(NMH\):

\(\angle M=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\).

Соседние углы параллелограмма supplementary:

\(\angle N=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Противоположные углы равны, поэтому \(\angle P=60^\circ\), \(\angle Q=120^\circ\).

Ответ: \(MN=PQ=3\) см, \(MQ=NP=6.5\) см; \(\angle M=\angle P=60^\circ\), \(\angle N=\angle Q=120^\circ\).