770. На кривой y = 1/(2√x) найдите точку, ближайшую к началу координат, если: а) f(x) = 1/(2√x); б) f(x) = x² -1.

Решение:

а) Для функции \( y = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

1. Найдем функцию расстояния \( L(x) \) от начала координат \( (0, 0) \) до точки \( (x, y) \) на кривой: \( L(x) = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (\frac{1}{2\sqrt{x}})^2} = \sqrt{x^2 + \frac{1}{4x}} \).
2. Для удобства минимизируем квадрат расстояния \( L^2(x) = x^2 + \frac{1}{4x} \).
3. Найдем производную \( (L^2)'(x) \): \( (L^2)'(x) = 2x - \frac{1}{4x^2} \).
4. Приравняем производную к нулю: \( 2x - \frac{1}{4x^2} = 0 \) \( \Rightarrow 2x = \frac{1}{4x^2} \) \( \Rightarrow 8x^3 = 1 \) \( \Rightarrow x^3 = \frac{1}{8} \) \( \Rightarrow x = \frac{1}{2} \).
5. Найдем \( y \) при \( x = \frac{1}{2} \): \( y = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
6. Точка: \( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \).

б) Для функции \( y = x^2 - 1 \)

1. Найдем функцию расстояния \( L(x) \) от начала координат \( (0, 0) \) до точки \( (x, y) \) на кривой: \( L(x) = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (x^2 - 1)^2} \).
2. Минимизируем квадрат расстояния \( L^2(x) = x^2 + (x^2 - 1)^2 = x^2 + x^4 - 2x^2 + 1 = x^4 - x^2 + 1 \).
3. Найдем производную \( (L^2)'(x) \): \( (L^2)'(x) = 4x^3 - 2x \).
4. Приравняем производную к нулю: \( 4x^3 - 2x = 0 \) \( \Rightarrow 2x(2x^2 - 1) = 0 \).
5. Решения: \( x = 0 \) или \( 2x^2 = 1 \) \( \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \) \( \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).
6. Если \( x = 0 \), то \( y = 0^2 - 1 = -1 \). Расстояние \( L = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1 \).
7. Если \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то \( y = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1 = \frac{2}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \). Расстояние \( L = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
8. Если \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), то \( y = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \). Расстояние \( L = \sqrt{(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
9. Сравним расстояния: \( 1 \) и \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Поскольку \( \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \), то \( \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 \).
10. Наименьшее расстояние достигается при \( x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).
11. Точки: \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}) \) и \( (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}) \).

Ответ: а) \( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \); б) \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}) \) и \( (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}) \).