771. а) Два тела начинают двигаться одновременно по прямым Ох и Оу, пересекающимся под прямым углом. Первое тело движется со скоростью 10 м/с по прямой Ох от точки А к точке О, причем АО = 100 м; второе тело движется со скоростью 5 м/с по прямой Оу от точки В к точке О, причем ВО = 200 м. Найдите наименьшее расстояние между телами во время движения. б) Два корабля плывут с постоянными скоростями v₁ = 20 км/ч и v₂ = 30 км/ч по прямым, угол между которыми 60°, в направлении точки пересечения этих прямых. Найдите наименьшее расстояние между кораблями, если в начальный момент времени расстояния кораблей от точки пересечения прямых были соответственно 10 км и 20 км.

Решение:

а) Движение тел по осям Ох и Оу

1. Пусть \( t \) — время движения.
2. Положение первого тела на оси Ох через время \( t \): \( x(t) = 100 - 10t \).
3. Положение второго тела на оси Оу через время \( t \): \( y(t) = 200 - 5t \).
4. Расстояние \( d(t) \) между телами находится по теореме Пифагора: \( d(t) = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2} = \sqrt{(100 - 10t)^2 + (200 - 5t)^2} \).
5. Для нахождения наименьшего расстояния минимизируем квадрат расстояния \( d^2(t) \): \( D(t) = (100 - 10t)^2 + (200 - 5t)^2 \).
6. Найдем производную \( D'(t) \): \( D'(t) = 2(100 - 10t)(-10) + 2(200 - 5t)(-5) \) \( D'(t) = -20(100 - 10t) - 10(200 - 5t) \) \( D'(t) = -2000 + 200t - 2000 + 50t \) \( D'(t) = 250t - 4000 \).
7. Приравняем производную к нулю: \( 250t - 4000 = 0 \) \( \Rightarrow 250t = 4000 \) \( \Rightarrow t = \frac{4000}{250} = 16 \) секунд.
8. Найдем координаты тел в момент \( t = 16 \) с:
• \( x(16) = 100 - 10 \cdot 16 = 100 - 160 = -60 \) м.
• \( y(16) = 200 - 5 \cdot 16 = 200 - 80 = 120 \) м.
9. Найдем наименьшее расстояние: \( d(16) = \sqrt{(-60)^2 + (120)^2} = \sqrt{3600 + 14400} = \sqrt{18000} = \sqrt{900 × 20} = 30 \sqrt{20} = 30 \sqrt{4 × 5} = 30 × 2 \sqrt{5} = 60\sqrt{5} \) м.

б) Движение двух кораблей

1. Пусть \( t \) — время движения.
2. Положение первого корабля через время \( t \) от точки пересечения: \( d_1(t) = 10 + 20t \).
3. Положение второго корабля через время \( t \) от точки пересечения: \( d_2(t) = 20 + 30t \).
4. Угол между прямыми \( \alpha = 60^{\circ} \).
5. Расстояние \( d(t) \) между кораблями находится по теореме косинусов: \( d(t)^2 = d_1(t)^2 + d_2(t)^2 - 2 d_1(t) d_2(t) \cos(60^{\circ}) \).
6. \( d(t)^2 = (10 + 20t)^2 + (20 + 30t)^2 - 2(10 + 20t)(20 + 30t) \cdot \frac{1}{2} \).
7. \( d(t)^2 = (100 + 400t + 400t^2) + (400 + 1200t + 900t^2) - (10 + 20t)(20 + 30t) \).
8. \( d(t)^2 = 500 + 1600t + 1300t^2 - (200 + 300t + 400t + 600t^2) \).
9. \( d(t)^2 = 500 + 1600t + 1300t^2 - 200 - 700t - 600t^2 \).
10. \( d(t)^2 = 700t^2 + 900t + 300 \).
11. Для нахождения наименьшего расстояния минимизируем \( d^2(t) \). Найдем производную \( (d^2)'(t) \): \( (d^2)'(t) = 1400t + 900 \).
12. Приравняем производную к нулю: \( 1400t + 900 = 0 \) \( \Rightarrow 1400t = -900 \) \( \Rightarrow t = -\frac{900}{1400} = -\frac{9}{14} \).
13. Так как время \( t \) не может быть отрицательным, то наименьшее расстояние достигается в начальный момент времени, когда \( t = 0 \).
14. \( d(0)^2 = 700(0)^2 + 900(0) + 300 = 300 \).
15. \( d(0) = \sqrt{300} = \sqrt{100 × 3} = 10\sqrt{3} \) км.

Ответ: а) \( 60\sqrt{5} \) м; б) \( 10\sqrt{3} \) км.