772. Через точку М (1; 3) проведена прямая, пересекающая оси координат в точках А и В. Найдите наименьшее значение произведения ОА · ОВ, если О — начало координат.

Решение:

Пусть уравнение прямой, проходящей через точку \( M(1, 3) \), имеет вид \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \), где \( a \) — абсцисса точки \( A \) (точка пересечения с осью Ох), а \( b \) — ордината точки \( B \) (точка пересечения с осью Оу). О — начало координат, поэтому \( OA = |a| \) и \( OB = |b| \).

1. Поскольку прямая проходит через точку \( M(1, 3) \), координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой: \( \frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1 \).
2. Нам нужно найти наименьшее значение произведения \( P = OA × OB = |a × b| \). Будем считать, что \( a > 0 \) и \( b > 0 \) (так как если \( a \) или \( b \) отрицательны, то произведение \( ab \) будет отрицательным, а \( |ab| \) будет больше, чем в случае положительных \( a, b \), которые дадут наименьшее положительное произведение).
3. Выразим \( b \) через \( a \) из уравнения \( \frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1 \): \( \frac{3}{b} = 1 - \frac{1}{a} = \frac{a - 1}{a} \) \( \Rightarrow b = \frac{3a}{a - 1} \).
4. Найдем произведение \( P = ab \): \( P(a) = a × \frac{3a}{a - 1} = \frac{3a^2}{a - 1} \).
5. Для нахождения минимума \( P(a) \) найдем производную \( P'(a) \): \( P'(a) = \frac{(6a)(a - 1) - 3a^2(1)}{(a - 1)^2} = \frac{6a^2 - 6a - 3a^2}{(a - 1)^2} = \frac{3a^2 - 6a}{(a - 1)^2} \).
6. Приравняем производную к нулю: \( 3a^2 - 6a = 0 \) \( \Rightarrow 3a(a - 2) = 0 \).
7. Так как \( a \) — абсцисса точки пересечения с осью Ох, \( a \neq 0 \). Следовательно, \( a = 2 \).
8. При \( a = 2 \) найдем \( b \): \( b = \frac{3 × 2}{2 - 1} = \frac{6}{1} = 6 \).
9. Проверим, что это минимум, с помощью второй производной или анализа знака первой производной. Для \( a = 2 \), \( P'(a) = 0 \). Если \( 1 < a < 2 \), например \( a = 1.5 \), \( P'(1.5) = \frac{3(1.5)(1.5-2)}{(1.5-1)^2} = \frac{4.5(-0.5)}{(0.5)^2} < 0 \) (убывает). Если \( a > 2 \), например \( a = 3 \), \( P'(3) = \frac{3(3)(3-2)}{(3-1)^2} = \frac{9(1)}{4} > 0 \) (возрастает). Следовательно, \( a = 2 \) — точка минимума.
10. Наименьшее значение произведения \( OA × OB \) равно \( |ab| \): \( |2 × 6| = 12 \).

Ответ: 12.