774*. На концах невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через легкий неподвижный блок, подвешены два груза, массы которых равны 100 и 200 г. В начальный момент времени грузы покоятся на высоте 2 м от пола. Пренебрегая трением, определите ускорение грузов, натяжение нити при движении грузов и время, за которое груз массой 200 г достигнет пола.

Решение:

Дано:

• Масса первого груза \( m_1 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг} \).
• Масса второго груза \( m_2 = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг} \).
• Начальная высота \( h = 2 \text{ м} \).
• Ускорение свободного падения \( g = 9.8 \text{ м/с}² \) (примем для расчетов).
• Трение и вес блока пренебрежимы.

Найти:

• Ускорение грузов \( a \).
• Натяжение нити \( T \).
• Время \( t \).

1. Ускорение грузов:

Груз массой \( m_2 \) будет двигаться вниз, а груз массой \( m_1 \) — вверх. Система движется с одинаковым ускорением \( a \).

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза:

• Для груза \( m_1 \) (движение вверх): \( T - m_1 g = m_1 a \).
• Для груза \( m_2 \) (движение вниз): \( m_2 g - T = m_2 a \).

Сложим два уравнения:

\( (T - m_1 g) + (m_2 g - T) = m_1 a + m_2 a \)

\( m_2 g - m_1 g = (m_1 + m_2) a \)

\( g(m_2 - m_1) = (m_1 + m_2) a \)

Выразим ускорение \( a \):

\[ a = g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \]

\[ a = 9.8 \frac{0.2 - 0.1}{0.1 + 0.2} = 9.8 \frac{0.1}{0.3} = 9.8 \frac{1}{3} \text{ м/с}² \]

\[ a ≈ 3.27 \text{ м/с}² \]

2. Натяжение нити:

Подставим найденное ускорение в одно из уравнений. Возьмем первое уравнение:

\( T - m_1 g = m_1 a \)

\( T = m_1 g + m_1 a = m_1 (g + a) \)

\[ T = 0.1 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с}² + 3.27 \text{ м/с}²) = 0.1 13.07 \text{ Н} \]

\[ T ≈ 1.31 \text{ Н} \]

Проверим по второму уравнению:

\( T = m_2 g - m_2 a = m_2 (g - a) \)

\[ T = 0.2 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с}² - 3.27 \text{ м/с}²) = 0.2 6.53 \text{ Н} \]

\[ T ≈ 1.31 \text{ Н} \]

Результаты совпадают.

3. Время, за которое груз массой 200 г достигнет пола:

Груз массой 200 г, двигаясь вниз с ускорением \( a \), должен пройти расстояние \( h = 2 \text{ м} \). Используем формулу для равноускоренного движения:

\( h = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \)

Так как начальная скорость \( v_0 = 0 \), то:

\( h = \frac{1}{2} a t^2 \)

Выразим время \( t \):

\[ t^2 = \frac{2h}{a} \]

\[ t = √{\frac{2h}{a}} \]

\[ t = √{\frac{2 2 \text{ м}}{3.27 \text{ м/с}²}} = √{\frac{4}{3.27}} \text{ с} \]

\[ t ≈ √{1.22} \text{ с} ≈ 1.10 \text{ с} \]

Ответ: Ускорение грузов составляет приблизительно 3.27 м/с²; натяжение нити — около 1.31 Н; время, за которое груз массой 200 г достигнет пола, — около 1.10 с.