775*. Гиря массой 500 г соединена с другой гирей массой m₂ легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Чему должна быть равна масса второй гири, чтобы первая гиря двигалась вверх с ускорением 2,4 м/с²; первая гиря двигалась бы вниз с тем же ускорением? (Трением можно пренебречь.)

Решение:

Дано:

• Масса первой гири \( m_1 = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг} \).
• Ускорение \( a = 2.4 \text{ м/с}² \).
• Ускорение свободного падения \( g = 9.8 \text{ м/с}² \).

1. Первая гиря двигается вверх с ускорением 2,4 м/с²:

В этом случае \( m_1 \) движется вверх, а \( m_2 \) — вниз. Следовательно, \( m_2 > m_1 \).

Запишем второй закон Ньютона для каждой гири:

• Для \( m_1 \) (движение вверх): \( T - m_1 g = m_1 a \).
• Для \( m_2 \) (движение вниз): \( m_2 g - T = m_2 a \).

Выразим натяжение нити \( T \) из первого уравнения: \( T = m_1 g + m_1 a \).

Подставим во второе уравнение:

\( m_2 g - (m_1 g + m_1 a) = m_2 a \)

\( m_2 g - m_1 g - m_1 a = m_2 a \)

\( m_2 g - m_2 a = m_1 g + m_1 a \)

\( m_2 (g - a) = m_1 (g + a) \)

Выразим \( m_2 \):

\[ m_2 = m_1 \frac{g + a}{g - a} \]

\[ m_2 = 0.5 \text{ кг} \frac{9.8 + 2.4}{9.8 - 2.4} = 0.5 \frac{12.2}{7.4} \]

\[ m_2 ≈ 0.5 1.6486 ≈ 0.8243 \text{ кг} \]

\[ m_2 ≈ 824.3 \text{ г} \]

2. Первая гиря двигается вниз с ускорением 2,4 м/с²:

В этом случае \( m_1 \) движется вниз, а \( m_2 \) — вверх. Следовательно, \( m_1 > m_2 \).

Запишем второй закон Ньютона для каждой гири:

• Для \( m_1 \) (движение вниз): \( m_1 g - T = m_1 a \).
• Для \( m_2 \) (движение вверх): \( T - m_2 g = m_2 a \).

Выразим натяжение нити \( T \) из второго уравнения: \( T = m_2 g + m_2 a \).

Подставим в первое уравнение:

\( m_1 g - (m_2 g + m_2 a) = m_1 a \)

\( m_1 g - m_2 g - m_2 a = m_1 a \)

\( m_1 g - m_1 a = m_2 g + m_2 a \)

\( m_1 (g - a) = m_2 (g + a) \)

Выразим \( m_2 \):

\[ m_2 = m_1 \frac{g - a}{g + a} \]

\[ m_2 = 0.5 \text{ кг} \frac{9.8 - 2.4}{9.8 + 2.4} = 0.5 \frac{7.4}{12.2} \]

\[ m_2 ≈ 0.5 0.6066 ≈ 0.3033 \text{ кг} \]

\[ m_2 ≈ 303.3 \text{ г} \]

Ответ: Масса второй гири должна быть приблизительно 824.3 г, чтобы первая гиря двигалась вверх, и приблизительно 303.3 г, чтобы первая гиря двигалась вниз с тем же ускорением.