778 Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — касательная, угол МАВ острый. Докажите, что ∠MAB = ∠ACB.

Дано: Окружность с центром O. AC — диаметр. AB — хорда. MA — касательная в точке A. ∠ MAB — острый.

Доказать: ∠ MAB = ∠ ACB.

Доказательство:

1. Свойство касательной и радиуса: Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \[ ∠ MAC = 90° \]
2. Угол MAB и угол MAC: Угол MAC состоит из углов MAB и BAC: \[ ∠ MAC = ∠ MAB + ∠ BAC \]
3. Подставим значение ∠ MAC: \[ 90° = ∠ MAB + ∠ BAC \]
4. Отсюда выразим ∠ MAB: \[ ∠ MAB = 90° - ∠ BAC \]
5. Угол ACB: Угол ACB — это вписанный угол, опирающийся на диаметр AC. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 90°. \[ ∠ ACB = 90° \]
6. Рассмотрим треугольник ABC: Сумма углов треугольника равна 180°. \[ ∠ ABC + ∠ BAC + ∠ ACB = 180° \]
7. Подставим ∠ ACB = 90°: \[ ∠ ABC + ∠ BAC + 90° = 180° \]
8. \[ ∠ ABC + ∠ BAC = 90° \]
9. Отсюда выразим ∠ ABC: \[ ∠ ABC = 90° - ∠ BAC \]
10. Сравним выражения: Мы получили, что \[ ∠ MAB = 90° - ∠ BAC \] и \[ ∠ ABC = 90° - ∠ BAC \]
11. Следовательно, \[ ∠ MAB = ∠ ABC \]
12. Теорема об угловой величине дуги: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол ACB опирается на дугу AB. Угол ABC опирается на дугу AC (полуокружность, 180°), что делает его прямым, но это не основная часть доказательства.
13. Угол BAC и дуга BC: Угол BAC — вписанный, опирается на дугу BC. \[ ∠ BAC = \frac{1}{2} \text{дуга BC} \]
14. Теорема о касательной и хорде: Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой между ними. Значит, \[ ∠ MAB = \frac{1}{2} \text{дуга AB} \]
15. Рассмотрим дугу AB: Сумма дуг, на которые опираются углы BAC и ABC (или центральный угол AOB), равна дуге AB.
16. В треугольнике ABC: ∠ ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. \[ ∠ ACB = \frac{1}{2} \text{дуга AB} \]
17. Сравним: \[ ∠ MAB = \frac{1}{2} \text{дуга AB} \] и \[ ∠ ACB = \frac{1}{2} \text{дуга AB} \]
18. Таким образом, \[ ∠ MAB = ∠ ACB \]

Что и требовалось доказать.