№ 78 (1, 3): 1) Упростить выражение \(\frac{a^{\frac43}(a^{-\frac13}+a^{\frac23})}{a^{\frac14}(a^{\frac34}+a^{-\frac14})}\). 3) Упростить выражение \(\frac{a^{\frac53}b^{-1}-a^{-\frac13}}{\sqrt[3]{a^2}}\).

1) Раскроем скобки в числителе и знаменателе, складывая показатели степеней с одинаковым основанием:

\(\frac{a^{\frac43}(a^{-\frac13}+a^{\frac23})}{a^{\frac14}(a^{\frac34}+a^{-\frac14})}=\frac{a^{1}+a^2}{a^1+a^0}=\frac{a+a^2}{a+1}=a.\)

Последнее сокращение допустимо при \(a\ne-1\), а исходное выражение также требует, чтобы знаменатель был определён и не равнялся нулю.

3) Представим корень как степень и разделим каждый член числителя на \(a^{\frac23}\):

\(\frac{a^{\frac53}b^{-1}-a^{-\frac13}}{\sqrt[3]{a^2}}=\frac{a^{\frac53}b^{-1}-a^{-\frac13}}{a^{\frac23}}=a b^{-1}-a^{-1}=\frac{a}{b}-\frac1a.\)

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{a}{b}-\frac1a=\frac{a^2-b}{ab}.\)

Ответ: 1) \(a\); 3) \(\frac{a^2-b}{ab}\).