78. Постройте график функции y = {x^2+6x+9, если x >= -5; 20/x, если x < -5. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Краткое пояснение:

• Необходимо построить график кусочно-заданной функции и определить, при каких значениях m линия y=m будет иметь с ним одну или две точки пересечения.

Пошаговое решение:

1. Построение графика:
   • Для x >= -5 строим параболу y = x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2. Вершина параболы находится в точке (-3, 0). При x = -5, y = (-5+3)^2 = 4.
   • Для x < -5 строим гиперболу y = 20/x. Ветвь гиперболы находится в III и I четвертях. При x = -5, y = 20/(-5) = -4.
2. Анализ пересечений с прямой y = m:
   • Одна точка пересечения:
     • При m = 0 (касается вершины параболы).
     • При m > 4 (пересекает ветвь параболы).
     • При m = 4 (пересекает параболу в точке (-5, 4) и касается гиперболы).
     • При m < -4 (пересекает ветвь гиперболы).
     • При m = -4 (касается ветви гиперболы).
   • Две точки пересечения:
     • При 0 < m < 4 (пересекает параболу в двух точках).
   • Таким образом, одна точка пересечения при m ∈ (-∞, -4] ∪ {0} ∪ [4, +∞). Две точки пересечения при m ∈ (0, 4).

Ответ: Одна точка пересечения при m ∈ (-∞, -4] ∪ {0} ∪ [4, +∞). Две точки пересечения при m ∈ (0, 4).